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拉普拉斯变换在电路中的分析

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对于电路,传统所应用的方法是根据电路定律和元件的电压、电流关系建立的描述电路的方程,建立的方程式以时间为自变量的线性常微分方程,然后对常微分方程求解,即可得电路变量在时域的解答。

但是对于多个动态元件的复杂电路,直接求解微分方程是比较困难的。因此产生了拉普拉斯积分变换法求解电路。拉普拉斯积分变换法,通过拉普拉斯积分变换,把已知的时域函数变换为频域函数,从而把时域的微分方程化为频域的代数方程。这样,就很容易求出代数方程的频域解函数。然后再通过拉普拉斯反变换,返回时域,求出满足电路的原微分方程的解。

                                                  一、拉普拉斯变换

1、 拉普拉斯变换定义

一个定义在[[0,无穷]区间的函数f(t),他的拉普拉斯变换式F(s)定义为

image

式中image 为复数,F(s)称为f(t)的象函数,f(t)成为F(s)的原函数。拉普拉斯变换简称为拉式变换。

拉式变换是把一个时间域的函数f(t)变换到s域内的复变函数F(s)。变量s称为复频域。

如果F(s)已知,要求出与它对应的原函数f(t),由F(s)到f(t)的变换称为拉普拉斯反变换。

image

拉普拉斯反变换,可以将s域内的复变函数F(s)转换为时间域的函数f(t)。

2、 拉普拉斯重要性质

1.1微分性质

如果函数f(t)的像函数其对应的拉普拉式变换式为F(s)。

那么对函数f(t)的求导,d(f(t))/dt 对应的拉普拉斯变换式为sF(s)。因为就将时域的微分转变成为了频域的代数表达式。

1.2 卷积性质

时域上,对两个时间函数f1(t)和f2(t),进行卷积,那么卷积定义式为:

y(t)= f1(t)*f2(t)=image

但是,如果f1(t)和f2(t)其对应的拉普拉斯变换为F1(s)和F2(s),那么y(t)对应的拉普拉斯变换:

                          Y(s) = F1(s)F2(s);

这样,时域的复杂卷积运算就转换为时域上的乘法运算。

                                                  二、拉普拉斯在电路中的分析

1、 传统动态电路的分析方法

对于动态电路,传统的分析方法是利用电感,电容的电压电流的微分或积分关系,然后再根据电路的KCL定律和KVL定律建立描述电路的方程,建立的方程式以时间为自变量的线性常微分方程,然后再对微分方程求解,获得电路的输出响应。

例如,对如下电路:

                                    clip_image011

求得Vout对Vin的关系,首先得建立电路的微分方程:

                                image

解这微分方程,求得电容电压u表达式,然后再根据电感的电压电流关系,计算出电路电流i的表达式,最后在根据电阻的电压与电流关系,求出Vout的表达式。

2、 拉普拉斯变换法的电路分析方法

传统的对动态电路的分析方法是建立微分方程,然后进行求解。但是可以看出,高阶的微分方程的解是比较难困难解出来的。但是采用拉普拉斯变换的话,就将微分方程变换为代数方程。因为拉普拉斯有个很重要的微分性质。时域的微分,在频域中只是乘以一个系数。

                                  image

对于上面建立的微分方程,设u的拉普拉斯变换为U(s)。输入vin的拉普拉斯变换为VIN(s)。

那么上述微分方程变为:

                               LCs2 U(s)+ RCsU(s) + U(s) = sVIN(s)

这样,就简单的将时域的微分方程,转换为频域的代数方程,从而就很容易得出U(s)的值,然后再拉普拉斯反变换,即可得出对应的时域函数。这样,比解微分方程就简单多了。

对于电路有动态元件时,这时候,用拉普拉斯变换法分析,电路的元件用阻抗来表示。如

                               image

因为对于动态元件电路,可以将电容,电感,电阻看成阻抗分别为1/sC ,sL ,R的电阻器件。然后再根据欧姆定律以及电路的KCL,KVL定律建立电路的拉普拉斯方程。

如下电路:

                                 clip_image011[1]

电容阻抗为1/s,电感阻抗为s,电阻阻抗为1。那么电路总阻抗为Z=1/s+s+1。利用欧姆定律U=RI。

电路电流I(s) = VIN(s) / Z。然后再根据电阻分压原理,可得出

VOUT(s) = 1/z * I(s)

即可得出输出电压的s域的表达式。然后再根据拉普拉斯变换,即可得出vout的时域表达式了。

所以,可见,拉普拉斯变换分析方法使得分析动态电路非常容易,只需建立s域代数方程,然后将输入进行拉普拉斯变换,带入s域代数方程,解出所求输出的拉普拉斯表达式,然后再进行拉普拉斯反变换,即可求出输出的时域表达式。

                                              三、拉普拉斯在频率分析中的作用

1、 电路的频率响应

电路中,由于存在电容,电感动态元件,所以会使得电路对不同频率的输入信号产生的输出响应是不一样的。因此就需要特定的方法来分析电路的频率响应。

2、拉普拉斯变换法的频率响应分析

由于拉普拉斯变换是将时域信号转换为频域信号,所以拉普拉斯变换在频率响应分析中是最常用的方法。

如下图所示:

                                      clip_image024

对于上图,如何简单的分析电路的频率响应。考虑用拉普拉斯变换。

利用s域的代数方程,可以求出:

                                          image

那么从输出的s域表达式,就可以看出,电路是一个低通滤波器。其截止角频率为1/RC。这样,就简单的对电路进行了频率响应分析。而不需要对电路进行复杂的分析。

                                                                 四、总结

传统的动态电路的分析,是对电路建立微分方程,然后求解微分方程,从而得出输出的时域解。这种分析方法,对于低阶电路比较适用。因为低阶的微分方程求解相对比较容易,但是对于高阶电路,求解就很困难了。

而采用拉普拉斯变换方法,将电路的微分方程转换成了代数方程,不管微分方程的阶数有多高,转换的代数方程是很容易求解的。因此用拉普拉斯变换法很容易对电路进行求解。

由于拉普拉斯是将时域函数转换为频域函数,因此利用拉普拉斯方法对电路进行频率分析也是很容易的。只需建立s域代数方程,然后求出输出的拉普拉斯表达式,即可从表达式很简单的计算出电路的频率响应。


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