基于累加的PDM算法的原理

- 基于累加的PDM算法(2)

　　上一篇我只不过以实例抛出了一个算法，没有细说其原理。这里，我准备稍微详细说一下原理。

　　单片机能输出Sin(t)吗？能，DA。

　　没有DA怎么办？PWM。

　　没有PWM怎么办？

　　事情就是这么来的。20多年前，不要说单片机内没有PWM，而且当时的MCS-51系列内连Timer2还没有呢。这个算法就是20多年前逼出来的。

　　下面看我怎样在数字端口输出SQRT(0.5)= 0.70710678…。

　　假设我们要输出实数值x，x在[0,1)。

　　我们只需要一个变量存累计数，事实上，我们只须保存尾数，不妨就叫它为Mantissa。Mantissa可以有[0,1)范围内的任意初始值。

　　下面一段程序是在定时中断内执行的。中断间隔是由你系统的需要和MCU的能力确定的。

Timer_ISR:

…

Mantissa += x ;

If (Mantissa >= 1) { Pout = 1 ; Mantissa -= 1 ; }

Else Pout = 0 ; //从哪个数字口Pout输出由你定

…

END of Timer_ISR.

　　每中断一次，端口输出一个0或1。

　　我们看一下当x= 0.7071…和初值Mantissa=0.5时，每次中断输出的实例：

　　1，0，1，1，1，0，1，1，0，1，1，0，1，…

　　那么输出序列中1的个数(h)/中断次数(n)：

　　h/n=

　　1/1，1/2，2/3，3/4，4/5，4/6，5/7，6/8，6/9，7/10，8/11，8/12，9/13，…，11/16，…，23/32，…，45/64，…，91/128，…，181/256，…，…，23170/32768，…

　　化做小数容易对比，h/n=

1，0.5，0.6667，0.75，0.8，0.6667，0.7143，0.75，0.6667，0.7，0.7273，0.6667，0.6923，…，0.6875(n=16)，…，0.71875(n=32)，…，0.7031(n=64)，…，0.7109(n=128)，…，0.70703(n=256)，…，…，0.70709(n=32768)，…

　　我们可以看到，h/n是0.70710678…的最佳分数逼近（就同样的分母而言），而且随着n的增加，逼近的精度就越来越高了。如何选择中断间隔和输出端的滤波参数，就看系统对精度的要求了。当然，还受到MCU能力的限制。

　　在实际运用中，考虑到MCU的能力限制，我们要把算法变得更高效。例如：

　　由精度的要求，考虑一个合适的整数N(N=256，一般就够1%了)，那么x也放大N倍成H=x*N；Mantissa也用整数CNT。那么，算法也就如上一篇中抛出的：

Timer_ISR:

…

CNT += H ;

If (CNT >= N) { Pout = 1 ; CNT %= N; } // 或CNT -= N，就看哪个快

Else Pout = 0 ;

…

END of Timer_ISR.

　　这个算法的特点就是：在N个时钟周期内，均匀地送出H个1。

　　对8位、16位、32位MCU，我们选特定的N=256、N=65536、N=2^32。

　　那么一次加法就够了：

Timer_ISR:

…

CNT += H ;

Pout = Carry_Bit ; // 直接输出进位到端口。

…

END of Timer_ISR.

　　20多年前，在8051中，我每一次定时器中断管3个PDM输出。就这么几句汇编：

Timer_ISR:

...

MOV A,CNT1

ADD A,H1

MOV CNT1,A

MOV Px.1,C

MOV A,CNT2

ADD A,H2

MOV CNT2,A

MOV Px.2,C

MOV A,CNT3

ADD A,H3

MOV CNT3,A

MOV Px.3,C

...

RETI

　　顺便说，在ARM Cortex-M中，用N=2^32比用N=2^8、N=2^16都要快。反一下汇编就知道了，因为运算是32位的，要8位、16位，还要从32位截下来，白白花费一些CPU周期。ARM Cortex-M系统，在Systick中，用汇编做软件PDM，挺不错的。

　　这种算法，用中国的成语说，就叫做“集腋成裘”，狐狸的腋毛积累到够做一件裘衣，就先做一件，剩下的零头归到下次继续积。

　　另外，AD、DA也常用到“Sigma-Delta”，我们的这种算法，洋叫法是不是可以叫做“Software Sigma-Delta” ？

　　现在MCU内，DA、PWM都不当回事了，还要翻这老黄历干吗？老黄历还有新用场，这就是我晒这粒陈芝麻的用意。后面慢慢道来。

The Priciple of The PWM Algorithm Based On Addition

- A PDM Algorithm Based On Addition (2)

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FY_ZHU

2013-07-26 BOS-MA